Tài liệu về bài tập phần Laplace - Thuviencokhi.com - Thư viện tài liệu, video, kiến thức, tiêu chuẩn cơ khí

Hiện nay, trang Box.com đang giới hạn băng thông nên nhiều bạn không tải được tài liệu trên web. Vì vậy, chúng tôi làm video hướng dẫn các bạn tải tài liệu trên trang này. Các bạn bấm vào link này để xem hướng dẫn nhé !!!

Xem ở đây, Click!!!

Danh Mục Ngành cơ điện tử Kỹ thuật điều khiển tự động

Tài liệu về bài tập phần Laplace

Từ năm 1744, Leonhard Euler đã đưa ra các tích phân

$z= \int X(x)e^{ax}dx$ và $z= \int X(x)x^{A}dx$

để giải các phương trình vi phân.

Joseph Louis Lagrange, người rất ngưỡng mộ Euler, khi nghiên cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất, ông đã đưa ra biểu thức tích phân

$\int X(x)e^{ax}a^xdx$

Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của Laplace vào năm 1782 khi ông tiếp tục công trình của Euler là sử dụng phép tính tích phân để giải các phương trình. Năm 1785, vượt ra khỏi giới hạn giải quyết các phương trình bằng phương pháp tích phân, ông đã bắt đưa ra các biến đổi mà sau này đã trở nên rất phổ biến. Ông sử dụng tích phân

$\int x^s \Phi\ (s) dx$

- tương tự với biến đổi Mellin, để biến đổi phương trình sai phân để tìm ra lời giải cho phương trình biến đổi. Với cách tương tự như vậy, ông đã suy ra các tính chất của biến đổi Laplace.

Laplace cũng nhận ra rằng phương pháp của Joseph Fourier trong chuỗi Fourier để giải phương trình khuếch tán chỉ có thể áp dụng trong một vùng không gian giới hạn.

Giả sử f là một hàm (có thể là hàm phức) của biến số thực t (t ≥ 0) sao cho tích phân $\int_{0}^\infty f(t)e^{-st} dt$ hội tụ ít nhất với một số phức s = a + ib, thì khi đó ảnh của hàm f qua biến đổi Laplace là hàm F được định nghĩa bởi tích phân sau

$F(s)=L\left\{f(t),s\right\}=\int_{0}^\infty f(t)e^{-st}dt$

Một số trường hợp để đảm bảo cho cả những trường hợp hàm gốc f(t) không xác định tại t=0, ta có thể định nghĩa một cách chính xác hơn.

$F(s)=L\left\{f(t),s\right\}=\int_{0+}^\infty f(t)e^{-st}dt$

Một khi nói "biến đổi Laplace" mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía. Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến âm vô cực.

$F(s)=L\left\{f(t),s\right\}=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-st}dt$

Nếu như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản trở thành một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai phía, xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside. than

Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(p). Biến đổi Laplace ngược được định nghĩa bởi tích phân sau.

$L^{-1} \left\{F(s)\right\}=f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma -i \infty}^{\gamma +i \infty}e^{st}F(s)ds$

Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t).

Tập hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân $\int_{0}^\infty f(t)e^{-st}dt$ hội tụ ít nhất với một số phức p gọi là lớp hàm gốc. Trong khi đó tập hợp các giá trị của p sao cho tích phân $\int_{0}^\infty f(t)e^{-st}dt$ tồn tại thì được gọi là miền hội tụ (hay miền qui tụ).

Ta có thể chứng minh được lớp các hàm gốc phải thỏa mãn các tính chất sau.

$f(t)=L^{-1}\left\{F(s)\right\}$

$g(t)=L^{-1}\left\{G(s)\right\}$

Tính chất	Miền thời gian	Miền tần số
Tuyến tính	$a f(t) + b g(t) \$	$a F(s) + b G(s) \$
Đạo hàm trong miền tần số	$t f(t) \$	$-F'(s) \$
Đạo hàm bậc n trong miền tần số	$t^{n} f(t) \$	$(-1)^{n} F^{(n)}(s) \$
Đạo hàm trong miền thời gian	$f'(t) \$	$s F(s) - f(0^-) \$
Đạo hàm bậc 2	$f''(t) \$	$s^2 F(s) - s f(0^-) - f'(0^-) \$
Tổng quát	$f^{(n)}(t) \$	$s^n F(s) - s^{n - 1} f(0^-) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^-) \$
Tích phân trong miền tần số	$\frac{f(t)}{t} \$	$\int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \$
Tích phân trong miền thời gian	$\int_0^t f(\tau)\, d\tau = u(t) * f(t)$	${1 \over s} F(s)$
Đồng dạng	$f(at) \$	${1 \over \|a\|} F \left ( {s \over a} \right )$
Biến đổi trong miền tần số	$e^{at} f(t) \$	$F(s - a) \$
Biến đổi trong miền thời gian	$f(t - a) u(t - a) \$	$e^{-as} F(s) \$
Tích chập	$(f * g)(t) \$	$F(s) \cdot G(s) \$
Hàm tuần hoàn	$f(t) \$	${1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt$

$f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}$

$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}$ , trong nửa mặt phẳng (Re.s > so)

f(t) = 0, với mọi t < 0.
Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục cùng với các đạo hàm cấp đủ lớn trên toàn trục t, trừ một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một.
Khi $t \to+\infty$ hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số s>0 và M>0 sao cho $\left|f(t)\right|\le e^{st}, \forall t >0$ Khi đó s_o = inf {s} được gọi là chỉ số tăng của hàm f. (Tức là hàm f(t) không được tăng nhanh hơn hàm e^st để đảm bảo tích phân Laplace hội tụ).
Cho các hàm f(t) và g(t), và các hàm ảnh tương ứng F(s) và G(s):
- Sau đây là bảng các tính chất của biến đổi Laplace:
- Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn)
- Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn)